THE ASYMPTOTIC PROPERTIES OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE HILBERT SPACE

SOTA, LLAMBRINI

AKTET - Journal of Institute Alb-Shkenca
AKTET, Volume 4, Issue 2, Matematike, Statistike, 2011

Title: THE ASYMPTOTIC PROPERTIES OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE HILBERT SPACE

Titulli shqip: VETITË ASIMPTOTIKE TË EKUACIONIT DIFERENCIAL TË RENDIT TË DYTË NË HAPËSIRËN HILBERTIANE

Abstract: In our paper, we study the asymptotic properties as t→ ∞ of the differential equation: (*) d²x/dt²+α(t)dx/dt+ g(x(t))=0, t≥0 , in the Hilbert space H, where the map G : H→R is at least of class C¹ and α :R+ →R+ is a non increasing function and the gradient g is Lipschitz continuous, uniformly on bounded sets.We will focus on the important case corresponding to a vanishing damping term α(t). It is clear that the decay properties of the map α play a central role in the asymptotic behavior of (*). Our analysis based on the existence of suitable energy function. Under convex-like assumptions G, we prove the convergence of the energy function toward minG as t→ ∞ , provided that ∫α(t)dt=0.

Abstrakti: Ne do të studiojmë vetitë asimptotike të ekuacionit diferencial: (*) d²x/dt²+α(t)dx/dt+ g(x(t))=0,t≥0 , në hapësirën hilbertiane H ku pasqyrimi G : H→R është të paktën i klasës C¹, pasqyrimi α :R+ →R+ është funksion jorritës dhe gradienti g i funksionit G është Lipschitz uniformisht i vazhdueshëm në bashkësitë e kufizuara. Ne do të fokusohemi në rastin kur koeficienti α tenton ngadalë drejt zero kur t→∞. Është e qartë se vetia e humbjes së pasqyrimit α ruan një rol të rëndësishëm në sjelljen asimptotike të ekuacionit (*). Analiza jonë bazohet kryesisht në ekzistencën e disa funksioneve energji të përshtatshëm.Kur funksioni G është konveks kushti ∫α(t)dt=0 siguron që funksioni energji konvergjon drejt minimumit të G-së.

Key words: Differential equation, asymptotic behavior, energy function.

Fjalë kyçe: Ekuacion diferencial,sjellje asimptotike, funksion energji.

Corresponding author: LLAMBRINI SOTA (llambrini_kristi@yahoo.com)

Authors: LLAMBRINI SOTA, Universiteti ’’Ismail Qemali’’ Vlore, V L O R e, Albania

Full text: Download Issue 2 [PDF]

	AKTET Journal of Institute Alb-Shkenca Revistë Shkencore e Institutit Alb-Shkenca ( ISSN 2073-2244 )
(english)

Title:	THE ASYMPTOTIC PROPERTIES OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE HILBERT SPACE
Titulli shqip:	VETITË ASIMPTOTIKE TË EKUACIONIT DIFERENCIAL TË RENDIT TË DYTË NË HAPËSIRËN HILBERTIANE
Abstract:	In our paper, we study the asymptotic properties as t→ ∞ of the differential equation: () d²x/dt²+α(t)dx/dt+ g(x(t))=0, t≥0 , in the Hilbert space H, where the map G : H→R is at least of class C¹ and α :R+ →R+ is a non increasing function and the gradient g is Lipschitz continuous, uniformly on bounded sets.We will focus on the important case corresponding to a vanishing damping term α(t). It is clear that the decay properties of the map α play a central role in the asymptotic behavior of (). Our analysis based on the existence of suitable energy function. Under convex-like assumptions G, we prove the convergence of the energy function toward minG as t→ ∞ , provided that ∫α(t)dt=0.
Abstrakti:	Ne do të studiojmë vetitë asimptotike të ekuacionit diferencial: () d²x/dt²+α(t)dx/dt+ g(x(t))=0,t≥0 , në hapësirën hilbertiane H ku pasqyrimi G : H→R është të paktën i klasës C¹, pasqyrimi α :R+ →R+ është funksion jorritës dhe gradienti g i funksionit G është Lipschitz uniformisht i vazhdueshëm në bashkësitë e kufizuara. Ne do të fokusohemi në rastin kur koeficienti α tenton ngadalë drejt zero kur t→∞. Është e qartë se vetia e humbjes së pasqyrimit α ruan një rol të rëndësishëm në sjelljen asimptotike të ekuacionit (). Analiza jonë bazohet kryesisht në ekzistencën e disa funksioneve energji të përshtatshëm.Kur funksioni G është konveks kushti ∫α(t)dt=0 siguron që funksioni energji konvergjon drejt minimumit të G-së.
Key words:	Differential equation, asymptotic behavior, energy function.
Fjalë kyçe:	Ekuacion diferencial,sjellje asimptotike, funksion energji.
Corresponding author:	LLAMBRINI SOTA (llambrini_kristi@yahoo.com)
Authors:	LLAMBRINI SOTA, Universiteti ’’Ismail Qemali’’ Vlore, V L O R e, Albania
Full text:	Download Issue 2 [PDF]