INTEGRAL PRESZNTATION OF A CONVEX FUNCTION

GJOKA, LUIGJ; GJONBALAJ, QEFSERE

AKTET - Journal of Institute Alb-Shkenca
AKTET, Volume 4, Issue 3, Matematike, Statistike, 2011

Title: INTEGRAL PRESZNTATION OF A CONVEX FUNCTION

Titulli shqip: PARAQITJA INTEGRALE E FUNKSIONIT KONVEKS

Abstract: In this article we address the problem of integral presentation of a convex function. Here we prove in a new way that every convex function can be presented by the indefinite integral of a non decreasing function according to the formula f(x)=c+∫g(x)dx (1) whether the operator of integration is operator of Riemann or Lebesgue.In order to achieve this goal we have used three important features of convex functions dealing with their continuity and differentiability (see claims (P1) (P2) and (P3), which we have borrowed from H Álvarez [1] and Dahl G [2]. To prove that the derivative of a convex function is Riemann integrable, was needed to prove lemma 2. Key words: Convex function, Riemann/ Lebesgue integral

Abstrakti: Në këtë artikull ne trajtojmë problemin e paraqitjes integrale e një funksioni konveks. Këtu provojmë në mënyrë të re që çdo funksion konveks mund të paraqitet si integral i pacaktuar i një funksioni jozvogëlues sipas formulës f(x)=c+∫g(x)dx (1) pavarësisht nëse operatori i integrimit është i Rimanit apo i Lebegut. Për t'ia arritur këtij qëllimi kemi shfrytëzuar tri veti të rëndësishme të funksioneve konvekse që kanë të bëjnë me vazhdueshmërinë dhe derivueshmërinë e tyre (shih pohimet (P1), (P2) dhe (P3)., të cilat i kemi huazuar nga Álvarez H [1] dhe Dahl G [2]. Për të vërtetuar se derivati i një funksioni konveks është i integrueshëm sipa Rimanit, na u desh të vërtetonim lemën 2. Fjalë kyçe: funksion konveks, integral i Rimanit / Lebegut

Key words: convex function, Riemann integral, Lebesgue integral

Fjalë kyçe: funksion konveks, integral i Rimanit / Lebegut

Corresponding author: LUIGJ GJOKA (luigjgjoka@ymail.com)

Authors: LUIGJ GJOKA, UPT, Tiranë, Albania
QEFSERE GJONBALAJ, Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Universiteti i Prishtinës, Prishtinë, Kosova

Full text: Download Issue 3 [PDF]

	AKTET Journal of Institute Alb-Shkenca Revistë Shkencore e Institutit Alb-Shkenca ( ISSN 2073-2244 )
(english)

Title:	INTEGRAL PRESZNTATION OF A CONVEX FUNCTION
Titulli shqip:	PARAQITJA INTEGRALE E FUNKSIONIT KONVEKS
Abstract:	In this article we address the problem of integral presentation of a convex function. Here we prove in a new way that every convex function can be presented by the indefinite integral of a non decreasing function according to the formula f(x)=c+∫g(x)dx (1) whether the operator of integration is operator of Riemann or Lebesgue.In order to achieve this goal we have used three important features of convex functions dealing with their continuity and differentiability (see claims (P1) (P2) and (P3), which we have borrowed from H Álvarez [1] and Dahl G [2]. To prove that the derivative of a convex function is Riemann integrable, was needed to prove lemma 2. Key words: Convex function, Riemann/ Lebesgue integral
Abstrakti:	Në këtë artikull ne trajtojmë problemin e paraqitjes integrale e një funksioni konveks. Këtu provojmë në mënyrë të re që çdo funksion konveks mund të paraqitet si integral i pacaktuar i një funksioni jozvogëlues sipas formulës f(x)=c+∫g(x)dx (1) pavarësisht nëse operatori i integrimit është i Rimanit apo i Lebegut. Për t'ia arritur këtij qëllimi kemi shfrytëzuar tri veti të rëndësishme të funksioneve konvekse që kanë të bëjnë me vazhdueshmërinë dhe derivueshmërinë e tyre (shih pohimet (P1), (P2) dhe (P3)., të cilat i kemi huazuar nga Álvarez H [1] dhe Dahl G [2]. Për të vërtetuar se derivati i një funksioni konveks është i integrueshëm sipa Rimanit, na u desh të vërtetonim lemën 2. Fjalë kyçe: funksion konveks, integral i Rimanit / Lebegut
Key words:	convex function, Riemann integral, Lebesgue integral
Fjalë kyçe:	funksion konveks, integral i Rimanit / Lebegut
Corresponding author:	LUIGJ GJOKA (luigjgjoka@ymail.com)
Authors:	LUIGJ GJOKA, UPT, Tiranë, Albania QEFSERE GJONBALAJ, Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Universiteti i Prishtinës, Prishtinë, Kosova
Full text:	Download Issue 3 [PDF]